Доказательство теоремы Пифагора

Одна из основных теорем в геометрии, относящаяся только к прямоугольному треугольнику (треугольник, у которого есть угол в 90 градусов).

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

_x000D_
где a и b — катеты прямоугольного треугольника, c — его гипотенуза. Отсюда следует, что:_x000D_

Простейшее доказательство

Для данного доказательства необходим равнобедренный треугольник с прямым углом (то есть катеты будут равны между собой). Далее необходимо составить две «мозаики» из них:

_x000D_
На этом теорема является доказанной (2² = 4). _x000D_

_x000D_
Возьмём квадрат, состоящий из треугольников. Полученная сторона квадрата будет равна a + b. Соответственно площадь _x000D_

_x000D_
Так как квадрат состоит из 4-х равных между собой прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ab/2 и сторона квадрата — с, то_x000D_

_x000D_
Подставим S:_x000D_

Теорема доказана.

_x000D_
Для начала необходимо провести высоту (CD) в прямоугольном треугольнике из прямого угла. Получим два прямоугольных треугольника. Данные треугольники будут являться подобными, и из подобия выведем:_x000D_

Отсюда получим:

_x000D_
Подставим обозначение сторон прямоугольного треугольника (a, b, c)_x000D_

Сложим два равенства в одно:

или

Через косинус угла

_x000D_
Проведём высоту (CD) из вершины прямого угла (C). По определению косинуса угла:_x000D_

Значит,

_x000D_
И для угла B:_x000D_

и

Если утверждение «Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы» справедливо для каждого прямоугольного треугольника, то обратная теорема (о том, что треугольник является прямоугольным) гласит:

У данной теоремы есть две формулировки, и последняя является формулировкой обратной теоремы.

_x000D_
Возьмём треугольник ABC со сторонами a, b и c такими, что Докажем, что угол А будет равен 90 градусам._x000D_

Доказательство:

_x000D_
Рассмотрим треугольник (назовем его A’B’C’) с прямым углом А’, где A’B’ = a и A’C’ = b._x000D_

По теореме Пифагора

Значит, . Так как по условию теоремы, то

_x000D_
Треугольники ABC и A’B’C’ равны по трём сторонам, соответственно, и углы A и A’ равны между собой и равны 90 градусам. Значит, треугольник ABC — прямоугольный._x000D_

1) Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, зная длины катетов — 4 и 3 см.

_x000D_
Решение: по теореме Пифагора «Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы», поэтому квадрат гипотенузы = 4² + 3² = 16 + 9 = 25._x000D_

Откуда гипотенуза равна √25 или 5 см.

Ответ: 5 см.

_x000D_
2) Найти катет прямоугольного треугольника, зная гипотенузу с = 5 см и катет b = 3 см._x000D_

Решение: по теореме Пифагора , отсюда катет a будет равен:

Ответ: 4 см.

_x000D_
3) Доказать, что треугольник является прямоугольным. Его стороны: a = 6 см, b = 8 см и c = 10 см._x000D_

Решение: по теореме Пифагора . Подставим значения и проверим выполнение данного условия:

Тождество сохраняется, значит, условие выполнено, и данный треугольник является прямоугольным.

Источник: https://repetitor.1c.ru/planimetry/dokazatelstvo-teoremy-pifagora/